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    5．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC．
    （1）如图1，连接BD，若∠BAD=90°，AD=7，求DC的长度；
    （2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC；
    （3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

    分析 （1）如图1，利用HL证得两个直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，则其对应边相等：AD=DC=2；
    （2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ求得∠PBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，结合已知条件“∠ABC+∠ADC=180°”即可得到结论；
    （3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．

    解答 （1）解：如图1，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°，
    ∴∠BCD=90°，
    在Rt△BAD和Rt△BCD中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL），
    ∴AD=DC=7，
    ∴DC=7；

    （2）如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK，∠PBQ=∠ABP+∠QBC；
    ∵∠ABC+∠ADC=180°，
    ∴∠BAD+∠BCD=180°．
    ∵∠BCD+∠BCK=180°，
    ∴∠BAD=∠BCK，
    在△BPA和△BCK中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AP=CK}\\{∠BAP=∠BCK}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
    ∴△BPA≌△BCK（SAS），
    ∴∠1=∠2，BP=BK．
    ∵PQ=AP+CQ，
    ∴PQ=QK，
    ∵在△PBQ和△BKQ中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BP=BK}\\{BQ=BQ}\\{PQ=KQ}\end{array}\right.$，
    ∴△PBQ≌△BKQ（SSS），
    ∴∠PBQ=∠KBQ，
    ∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ，
    ∴∠PBQ=∠ABP+∠QBC；

    （3）∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
    如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，
    ∵∠ABC+∠ADC=180°，
    ∴∠BAD+∠BCD=180°．
    ∵∠BAD+∠PAB=180°，
    ∴∠PAB=∠BCK．
    在△BPA和△BCK中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AP=CK}\\{∠BAP=∠BCK}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
    ∴△BPA≌△BCK（SAS），
    ∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
    ∴∠PBK=∠ABC．
    ∵PQ=AP+CQ，
    ∴PQ=QK，
    在△PBQ和△BKQ中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BP=BK}\\{BQ=BQ}\\{PQ=KQ}\end{array}\right.$，
    ∴△PBQ≌△BKQ（SSS），
    ∴∠PBQ=∠KBQ，
    ∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°，
    ∴2∠PBQ+（180°-∠ADC）=360°，
    ∴∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．

    点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

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