Question

3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．
（1）求证：∠ECB=∠EBC；
（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB=$\frac{3}{5}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明EB是⊙O的切线，利用切线长定理可知EC=EB，即可解决问题．
（2）连接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH=$\frac{3}{5}$，推出FH=CF•sin∠FCH=$\frac{18}{5}$，CH=$\sqrt{C{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，设OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC²=CH²+OH²，可得x²=（$\frac{24}{5}$）²+（x-$\frac{18}{5}$）²，解得x=5，推出OH=$\frac{7}{5}$，再利用三角形中位线定理证明AC=2OH即可解决问题．

解答 （1）证明：∵BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠EBC．

（2）解：连接CF、CO、AC．
∵EB=EC，OC=OB，
∴EO⊥BC，
∴∠CHF=∠CHO=90°，
在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH=$\frac{3}{5}$，
∴FH=CF•sin∠FCH=$\frac{18}{5}$，CH=$\sqrt{C{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
设OC=OF=x，
在Rt△COH中，∵OC²=CH²+OH²，
∴x²=（$\frac{24}{5}$）²+（x-$\frac{18}{5}$）²，
∴x=5，
∴OH=$\frac{7}{5}$，
∵OH⊥BC，
∴CH=HB，∵OA=OB，
∴AC=2OH=$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查切线的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．