Question

【题目】我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．

（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= ，OC△OA= ；

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；

（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）0，7；（2）﹣8，24；（3）．

【解析】试题分析：（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；

②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；

（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=，再用新定义即可得出结论；

②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；

（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．

试题解析：（1）①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，

∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC=BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，

②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD=AC=3，

∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，

在Rt△COD中，OD==4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，

故答案为：0，7；

（2）①如图2，取BC的中点D，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=，

∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，

②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD=AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，

∵AB=4，∴AE=2，BE=，∴DE=AD+AE=4，

在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD= ==，

∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；

（3）如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，

∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，

取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB=AN=×OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，

在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，

∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②

联立①②得： 或（舍），∴BC=4，OA=，∴S△ABC=BC×AO=．