Question

5．已知：如图，以△OBC两边OB、OC向外作Rt△ABO、Rt△DCO、∠OAB=∠ODC=90°，∠AOB=∠DOC，点E为BC的中点，连接AE、DE．
求证：（1）AE=DE（2）∠AED=2∠ABO．

Answer 1

分析 （1）如图，取OB、OC的中点M、N，连接EM、EN．只要证明△AME≌△END即可．
（2）只要证明2$∠\\;\\;\$ABO+∠AMB=180°，∠AED+∠AMB=180°，即可解决问题．

解答 证明：（1）如图，取OB、OC的中点M、N，连接EM、EN．

∵∠BAO=∠ODC=90°，BM=MO，CN=NO，
∴AM=OM=BM，DN=CN=NO，OM∥EN，EM∥ON，
∴四边形OMEN是平行四边形，
∴OM=EN，EM=ON，
∴AM=EN，EM=DN，∠MAO=∠AOB，∠NDO=∠DON，
∵∠AMB=∠MAO+∠AOB，∠DNC=∠DON+∠NDO，
∴∠AMB=∠DNC，
∵∠BME=∠BOC=∠ENC，
∴∠AMB+∠BME=∠DNC+∠CNE，
∴∠AME=∠DNE，
在△AME和△END中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=EN}\\{∠AME=∠DNE}\\{EM=DN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△END，
∴AE=DE．

（2）∵△AME≌△END，
∴∠MAE=∠NED，∠AEM=∠EDN，
∵∠AED=∠AEM+∠MEN+∠NED=∠AEM+∠EMB+∠EAM，
又∵∠MAB=∠MBA，
∴∠AMB+2∠ABO=180°，∠AMB+（∠MAE+∠AEM+∠EMB）=180°，
∴∠MAE+∠AEM+∠EMB=2∠ABO，
∴∠AED=2∠ABO．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等角的补角相等等知识，解题的关键是学会常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．