如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1.x2.那么x1+x2=-b.x1x2=c.请根据以上结论.解决下列问题:(1)已知关于x的方程x2-(a+1)x+$\frac{1}{4}$a2+1=0的两根之差的绝对值为$\sqrt{5}$.求a的值,(2)已知关于x的方程x2+px+q=0有两个实数根.求出一个一元二次方程.使它的两个根分别是已知方程两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如果方程x²+bx+c=0的两个根是x₁、x₂，那么x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x²-（a+1）x+$\frac{1}{4}$a²+1=0的两根之差的绝对值为$\sqrt{5}$，求a的值；
（2）已知关于x的方程x²+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

分析（1）由韦达定理可得x₁+x₂=a+1，x₁x₂=$\frac{1}{4}$a²+1，根据|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=5，代入解关于a的方程可得；
（2）根据韦达定理知x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，设新方程两个分别为y₁、y₂，由y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$、y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，可知y₁+y₂、y₁y₂，继而可得新方程．

解答解：（1）设方程x²-（a+1）x+$\frac{1}{4}$a²+1=0的两根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=a+1，x₁x₂=$\frac{1}{4}$a²+1，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$，
∴（x₁-x₂）²=5，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=5，
∴（a+1）²-4（$\frac{1}{4}$a²+1）=5，
解得：a=4；

（2）方程x²+px+q=0（q≠0）中x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
设新方程两个分别为y₁、y₂，
则y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$、y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴y₁+y₂=$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{p}{q}$，
y₁y₂=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{q}$，
故新方程为y²+$\frac{p}{q}$y+$\frac{1}{q}$=0．

点评本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．

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