Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．

（1）求b，c的值；

（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣3；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．

【解析】

（1）先把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，求出a的值，然后再分别把B（b，0）、C（0，c）的值代入即可求出b，c的值；

（2）根据轴对称的性质找出点P的位置，然后求出直线BC的解析式和对称轴方程，二者联立可求出点P的坐标；

（3）分当点N在x轴下方时和当点N在x轴上方时两种情况求解即可.

解：（1）把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，

可得：a+2﹣3a=0

解得a=1．

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；

把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，

可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，

∵A（1，0），

∴b=﹣3；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3，

∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1，

连接BC，如图1所示，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，

当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，

∴P（﹣1，﹣2）；

（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，C（0，﹣3），

∴N1（﹣2，﹣3）；

②当点N在x轴上方时，

如图2，过点N'作N'D⊥x轴于点D，

在△AN'D与△M'CO中，

∴△AN'D≌△M'CO（AAS），

∴N'D=OC=3，即N'点的纵坐标为 3．

∴3=x2+2x﹣3，

解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，

∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）．

综上所述，符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．