Question

已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为边BC延长线上一点，连接DE，BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD交于点G，连接EG．设CE=x．
（1）求∠CEG的度数；
（2）当BG=2

5

时，求△AEG的面积；
（3）如果AM⊥BF，AM与BC相交于点M，四边形AMCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质证明△BCG≌△DCE，得出GC=EC，进而求出∠CEG的度数；
（2）利用勾股定理求出CG的长，再利用S_△AEG=S_{四边形ABED}-S_△ABE-S_△ADG-S_△DEG，进而求出△AEG的面积；
（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE，于是，由AD∥BC，可知四边形AMED是平行四边形，利用梯形的面积公式可得求y关于x的函数解析式．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°．             
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠GBC+∠DGF=90°，∠CDF+∠DGF=90°，
∴∠GBC=∠CDE，
∵∠BGC+∠GBC=90°，∠CDE+∠DEC=90°
∴∠BGC=∠DEC，
在△BCG和△DCE中，

∠GBC=∠EDC BC=DC ∠BGC=∠EDC

∴△BCG≌△DCE（ASA）．                             
∴GC=EC，即∠CEG=45°．                                        

（2）在Rt△BCG中，BC=4，BG=2

5

，
利用勾股定理，得CG=2．
∴CE=2，DG=2，即得  BE=6．                                
∴S_△AEG=S_{四边形ABED}-S_△ABE-S_△ADG-S_△DEG
=

1

2

(4+6)×4-

1

2

×6×4-

1

2

×2×4-

1

2

×2×2
=2．                 

（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE．
于是，由AD∥BC，可知四边形AMED是平行四边形．
∴AD=ME=4．
由CE=x，得MC=4-x．
∴y=S梯形AMCD=

1

2

(AD+MC)•CD=

1

2

(4+4-x)×4=-2x+16．
即y=-2x+16，定义域为0＜x＜4．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及性质三角形和梯形的面积公式，考查面很广，综合性较强．