Question

9．已知在直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（-1，1），顶点C（1，1+2$\sqrt{3}$），那么，顶点B、D的坐标分别为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）或（-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 如图作CF⊥y轴于F，BE⊥y轴于E．AC交y轴于G．首先求出点G坐标，AC的长，由△GCF≌△BGE，可得FG=BF=$\sqrt{3}$，CF=GE=1，推出B（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），根据对称性可知D（-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），由此即可解决问题．

解答 解：如图作CF⊥y轴于F，BE⊥y轴于E．AC交y轴于G．

∵A（-1，1），C（1，1+2$\sqrt{3}$），
∴AG=CG，G是正方形ABCD的对角线的交点，G（0，1+$\sqrt{3}$），
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴AG=CG=GB=DG=2，
易知△GCF≌△BGE，
∴FG=BF=$\sqrt{3}$，CF=GE=1，
∴B（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
根据对称性可知D（-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），
故答案为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）或（-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．