Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，

∠FDE=90°，DF=4，DE=。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。

（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=        度；

（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）15。

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，。

（3）在三角板DEF运动过程中，分三段讨论：

①当0≤x≤2时，如答图1所示，

设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN。

又∵，

∴NF+BF=MN，即。

∴。

∴。

②当2＜x≤时，如答图2所示，

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN。

又∵，

∴NF+BF=MN，即。

∴。

∴。

③当＜x≤6时，如答图3所示，

由BF=x，则AF=AB-BF=6－x，

设AC与EF交于点M，则，

∴。

综上所述，y与x的函数解析式为：

。

【解析】

试题分析：（1）如题图2所示，

∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，

∴。∴∠DFE=60°。

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE－∠ABC=60°－45°=15°。

（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可。

（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况，分0≤x≤2，2＜x≤，＜x≤6三时段讨论：

当0≤x≤2，即开始到DE与AC重合之前时，；

当2＜x≤，即DE与AC重合之后到EF经过点C之前时，；

当＜x≤6，即EF经过点C之后到停止之前时，。