Question

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²-2x-8=0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x²-2x-8=0，∴（x-4）（x+2）=0．
∴x₁=4，x₂=-2．
∴A（4，0），B（-2，0）．
又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

c=4 16a+4b+c=0 4a-2b+c=0

．
∴

a=- 1 2 b=1 c=4

．
∴所求抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+4．

（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
∵点B坐标为（-2，0），点A坐标（4，0），
∴AB=6，BP=m+2．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC．
∴

BP

AB

=

EG

CO

．
∴

EG

4

=

m+2

6

∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CPE=S_△CBP-S_△EBP
=

1

2

BP•CO-

1

2

BP•EG
∴S_△CPE=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）
=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

．
∴S_△CPE=-

1

3

（m-1）²+3．
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CPE有最大值3．
此时P点的坐标为（1，0）．

（3）存在Q点，
∵BC=2

5

，
设Q（1，n），
当BQ=CQ时，
则3²+n²=1²+（n-4）²，
解得：n=1，
即Q₁（1，1）；
当BC=BQ=2

5

时，9+n²=20，
解得：n=±

11

，
∴Q₂（1，

11

），Q₃（1，-

11

）；
当BC=CQ=2

5

时，1+（n-4）²=20，
解得：n=4±

19

，
∴Q₄（1，4+

19

），Q₅（1，4-

19

）．
综上可得：坐标为Q₁（1，1），Q₂（1，

11

），Q₃（1，-

11

），Q₄（1，4+

19

），Q₅（1，4-

19

）．