Question

【题目】A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

【答案】解：过点C作CD⊥AB与D，

∵AC=20km，∠CAB=30°，

∴CD= AC= ×20=10km，

AD=cos∠CABAC=cos30°×20=10 km，

∵∠CBA=45°，

∴BD=CD=10km，BC= CD=10 ≈14.14km

∴AB=AD+BD=10 +10≈27.32km．

则AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．

答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．

【解析】解非直角三角形时，若出现特殊角（30°、45°、60°），可过三角形的某一顶点作垂线，使特殊角处于直角三角形中，利用三角函数得出边之间的关系，本题中所求的缩短距离就是求（AC+BC﹣AB）.