Question

正方形ABCD中，点E是CD的中点，将正方形ABCD折叠，使点A与点E重合，折痕PQ与AC、AD分别相交于点P，Q．求cos∠CPE的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：过E作EF⊥AC于F，设AC=2a，AP=PE=x，则AC=2

2

a，CE=a，PC=2

2

a-x，根据等腰直角三角形的性质求得EF=CF=

2

2

CE=

2

2

a，从而求得PF=

3 2

2

a-x，然后根据勾股定理即可求得PE的值，进而求得PF的值，通过解直角三角形即可求得cos∠CPE的值．

解答：解：过E作EF⊥AC于F，
设AC=2a，AP=PE=x，则AC=2

2

a，CE=a，PC=2

2

a-x，
∵∠ACD=45°，
∴EF=CF=

2

2

CE=

2

2

a，
∴PF=2

2

a-x-

2

2

a=

3 2

2

a-x，
∵PE²=PF²+EF²，
∴x²=（

3 2

2

a-x）²+（

2

2

a）²，解得：x=

5 2

6

a，
∴PE=

5 2

6

a，PF=

3 2

2

a-

5 2

6

a=

2 2

3

a，
∴cos∠CPE=

PF

PE

=

2 2 3 a

5 2 6 a

=

4

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，过E作EF⊥AC于F构建直角三角形是本题的关键．