Question

7．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，猜想BC，CD，AC间等量关系并证明．

Answer 1

分析 先延长CD至M，使得DM=CB，连接AM，再根据SAS判定△ABC≌△ADM，进而得到AC=AM，∠CAM=90°，判定△CAM是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质得出结论DM+CD=$\sqrt{2}$AC即可．

解答 解：BC，CD，AC间等量关系为：BC+DC=$\sqrt{2}$AC．
理由如下：延长CD至M，使得DM=CB，连接AM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，
又∵∠ADM+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADM，
在△ABC和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADM}\\{DM=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADM（SAS），
∴AC=AM，∠1=∠2，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，即∠CAM=90°，
∴△CAM是等腰直角三角形，
∴CM=$\sqrt{2}$AC，
即DM+CD=$\sqrt{2}$AC，
∴BC+DC=$\sqrt{2}$AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，运用等腰直角三角形和全等三角形的性质进行求解．