Question

13．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交
AB于点C，连接AE，若AP=4，AO=3，求AE的长．

Answer 1

分析 由PA、PB是⊙O的两条切线，可得OA⊥PA，△PAB是等腰三角形，即可得AB⊥OP，然后由勾股定理求得OP长，再利用三角形面积的求解方法即可求得AC长，继而求得答案．

解答 解：连接AE，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，
∵AP=4，AO=3，
∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}+A{P}^{2}}$=5，
∴AC=$\frac{OA•AP}{OP}$=$\frac{12}{5}$，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴EC=OE+OC=$\frac{24}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}+E{C}^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质、切线长定理以及勾股定理．注意掌握切线长定理的应用是关键．