Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴正半轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y=-4x+4经过A，C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴，并从点O开始以每秒2个单位长度的速度沿y轴正半轴方向平移，并且分别交y轴、线段BC于点E，D两点，同时动点P从点B出发，向BA方向以每秒1个单位长度的速度运动（如图2），连接DP，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2），在整个运动过程中，△EDP的面积存在最大值，当△EDP面积最大值时，求OP的长；
（3）在（2）的条件下，存在某一时刻，使△ADP为等腰三角形，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）先由直线的解析式求得点A和点C的坐标，然后由AB=2，可求得点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），将C（0，4）代入求得a的值即可；
（2）首先证明△CDE∽△COB，依据相似三角形的性质可求得DE的长（用含t的式子表示），然后依据S_△EDP=$\frac{1}{2}$DE•OE列出△EDP的面积与t的函数关系式即可；（3）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，由AP=AB-PB可得到AP的长，由可知D（3-$\frac{3}{2}$t），然后可求得AM，PM的长，依据勾股定理可求得AD、DP的长，然后依据分为AD=PD、AD=AP、AP=PD三种情况列方程求解即可．

解答 解：（1）将x=0代入y=-4x+4，得：y=4，
∴C（0，4）．
将y=0代入y=-4x+4得：-4x+4=0，解得x=1，
∴A（1，0）．
∵AB=2，
∴B（3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），将C（0，4）代入得：3a=4，解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+4．
（2）由题意得：OE=2t，BP=t．
∵C（0，4），B（3，0），
∴OC=4，OB=3．
∴CE=4-2t，OP=3-t．
∵ED∥OB，
∴△CDE∽△COB．
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{CE}{OC}$，
∴$\frac{DE}{3}$=$\frac{4-2t}{4}$．
∴DE=3-$\frac{3}{2}$t．
∴S_△EDP=$\frac{1}{2}$DE•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{6-3t}{2}$×2t=-$\frac{3}{2}$t²+3t=-$\frac{3}{2}$（t-1）²+$\frac{3}{2}$．
∴当t=1时，△EDP面积最大值为$\frac{3}{2}$．
∴OP=3-t=3-1=2．
（3）如图所示：过点D作DM⊥x轴，垂足为M．

∵AP=AB-PB=2-t，
∴AP²=（2-t）²．
由勾股定理可知：AD²=AM²+MD²=（2-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²，PD²=PM²+DM²=（$\frac{1}{2}$t）²+（2t）²．
当AD=PD时，AD²=PD²，（2-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²=（$\frac{1}{2}$t）²+（2t）²，解得：t=1，t=2（舍去）；
当AD=AP时，AD²=AP²，（2-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²=（2-t）²，解得：t=$\frac{8}{21}$，t=0（舍去）．
当AP=PD时，AP²=PD²，（2-t）²=（$\frac{1}{2}$t）²+（2t）²，解得：t=$\frac{4\sqrt{17}-8}{13}$，t=$\frac{-4\sqrt{17}-8}{13}$（舍去）．
综上所述，当t=1或t=$\frac{8}{21}$或t=$\frac{4\sqrt{17}-8}{13}$时，△ADP为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的定义、勾股定理，依据题意列出△EDP的面积与t的函数关系式是解答问题（2）的关键，用含t的式子表示AD、PD、AP的长是解答问题（3）的关键．