Question

当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694，若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．

Answer 1

解：设满足条件的二次三项式为ax²+bx+c（a、b、c都是常数，且abc≠0）．
∵x=20，ax²+bx+c=694，
∴400a+20b+c=694． ①
∴400a=694-（20b+c）．
∵-10＜b＜10，-10＜c＜10，
∴-210＜20b+c＜210，
∴484＜400a＜904，
∴1.21＜a＜2.26．
又∵a是整数，
∴a=2．
将a=2代入①，得20b+c=-106． ②
于是，20b=-106-c，
又-10＜c＜10，
∴-116＜20b＜-96，
∴-5.8＜b＜-4.8，
又∵b为整数，
∴b=-5．
将b=-5代入②，得c=-6．
将x=20代入2x²-5x-6，得其值为694．
∴满足条件的二次三项式只有2x²-5x-6．
分析：设满足条件的二次三项式为ax²+bx+c（a、b、c都是常数，且abc≠0），先把x=20代入，得400a+20b+c=694，将其变形，得出400a=694-（20b-c）．再根据二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，运用不等式的性质，分别求出a、b、c的值，从而得出结果．
点评：本题利用不等式的性质考查了一元一次不等式组的解法及多项式的有关内容．难度较大，属于竞赛题型．