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5.如图1,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D.我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.请应用这一结论,解决下面的问题.
(1)如图2,过点D任意作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,求∠MDB+∠NDC的度数(用含∠A的代数式表示).
(2)如图3,当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系?说明你的理由.
(3)如图4,当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上,而与AC的交点在线段AC上时,(2)问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明你的理由;若不成立,请给出∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由.

分析 (1)由∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°结合∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,即可求出∠MDB+∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(2)由∠MDB+∠BDC-∠NDC=180°结合∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,即可得出∠MDB-∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(3)由∠BDC-∠BDM+∠NDC=180°结合∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,即可得出∠NDC-∠BDM=90°-$\frac{1}{2}$∠A.

解答 解:(1)∵∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°,
∴∠MDB+∠NDC=180°-∠BDC.
∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠MDB+∠NDC=180°-(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
(2)∠MDB-∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A,理由如下:
∵∠MDB+∠BDN=180°,∠BDN=∠BDC-∠NDC,
∴∠MDB+∠BDC-∠NDC=180°.
∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠MDB+90°+$\frac{1}{2}$∠A-∠NDC=180°,
∴∠MDB-∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
(3)∠NDC-∠BDM=90°-$\frac{1}{2}$∠A,理由如下:
∵∠MDC+∠NDC=180°,∠BDC=∠BDM+∠MDC,
∴∠BDC-∠BDM+∠NDC=180°.
∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴90°+$\frac{1}{2}$∠A-∠BDM+∠NDC=180°,
∴∠NDC-∠BDM=90°-$\frac{1}{2}$∠A.

点评 本题考查了三角形内角和定义以及角的计算,解题的关键是:(1)根据角与角之间的关系找出∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°;(2)根据角与角之间的关系找出∠MDB+∠BDC-∠NDC=180°;(3)根据角与角之间的关系找出∠BDC-∠BDM+∠NDC=180°.

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