Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O为AC中点，点E为线段BC上一点，∠EOF=90°，OF交AB于点F，试给出线段AF、FE、EC之间的数量关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何图形问题,证明题,数形结合

分析：延长FO到M，使FO=OM，连接CM，EM，证△AOF≌△COM，推出AF=CM，∠A=∠MCO，求出∠MCE=90°，根据线段垂直平分线得出EF=EM，在Rt△MCE中，由勾股定理得出ME²=CM²+CE²，代入求出即可．

解答：证明：
延长FO到M，使FO=OM，连接CM，EM，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOF和△COM中，

AO=OC ∠AOF=∠MOC FO=OM

，
∴△AOF≌△COM（SAS），
∴AF=CM，∠A=∠MCO，
∴AB∥CM，
∵∠B=90°，
∴∠MCE=90°，
∵∠EOF=90°，OF=OM，
∴EF=EM，
在Rt△MCE中，由勾股定理得：ME²=CM²+CE²，
∵EF=EM，CM=AF，
∴AF²+CE²=EF²．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线性质，平行线的性质和判定的应用，此题图形变化很多，而且图形复杂，属于中等难度的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．