Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB，交AB于点E，交AD于点G，过点G作GF∥BC交AB于点F，请问AE与BF相等吗？理由是什么？

Answer 1

分析 过G作GH∥AB，则利用条件可证明△ACG≌△HCG，可求得AG=BF，在△AEG中，结合直角三角形的性质可求得AE=AG，则可证得结论．

解答 证明：如图，过G作GH∥AB，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，∠B+∠BCA=90°．
∵AD⊥BC与点D，
∴在Rt△ADC中，∠DAC+∠BCA=90°，
∴∠B=∠DAC，
又∵GF∥BC，
∴四边形BHGF为平行四边形，
∴BF=GH，∠B=∠GHD，
∴∠GHD=∠DAC，
在△ACG和△HCG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠HCG}\\{CG=CG}\\{∠CAG=∠CHG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△HCG（AAS），
∴AG=GH，
∴BF=AG．
∵∠AGE=∠CGD，
在Rt△CDG中，∠CGD+∠GCD=90°，
∴∠AGE+∠GCD=90°．
又∵在Rt△CAE中，∠ACG+∠AEG=90°，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，
∵BE=AG，
∴AE=BF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意全等三角形的构造．