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13.计算:1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…共计2016项的总和.

分析 记S=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4031}{{2}^{2015}}$ ①,两边都乘以$\frac{1}{2}$可得$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4029}{{2}^{2015}}$+$\frac{4031}{{2}^{2016}}$ ②,①-②后可得$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2015}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,即$\frac{1}{2}$S=1+2($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$)-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,再进一步利用求和公式即可得.

解答 解:记S=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4031}{{2}^{2015}}$ ①,
∴$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4029}{{2}^{2015}}$+$\frac{4031}{{2}^{2016}}$ ②,
①-②,得:$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2015}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,
$\frac{1}{2}$S=1+2($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$)-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,
$\frac{1}{2}$S=1+2×$\frac{\frac{1}{2}×[1-(\frac{1}{2})^{2015}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,
$\frac{1}{2}$S=1+2×[1-($\frac{1}{2}$)2015]-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,
$\frac{1}{2}$S=1+2-$\frac{1}{{2}^{2014}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$,
∴S=6-$\frac{4+4031}{{2}^{2015}}$=6-$\frac{4035}{{2}^{2015}}$.

点评 本题主要考查等比数列的求和,掌握等比数列的求和公式是解题的关键.

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