Question

已知关于x的方程x²+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有实根，且k为正整数，正方形ABP₁P₂的顶点P₁、P₂在反比例函数y=

1+k

x

（x＞0）图象上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点P₂的坐标．

Answer 1

分析：设方程x²+3x+a=0的两个实数根分别为m与n，利用根与系数的关系表示出m+n与mn，根据m与n的倒数和为3列出关系式，通分后利用同分母分式的加法法则计算后，将表示出的m+n及mn代入，可得出a的值，将a的值代入关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0，根据此方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，根据k为正整数得到k的值，确定出反比例函数y=

1+k

x

的解析式，根据反比例函数解析式设出P₁的坐标，过P₁作P₁M垂直于y轴于M，过P₂作P₂N垂直于x轴于N，由正方形的性质及AAS可得出三个三角形全等，根据全等三角形的对应边相等可得出三组边相等，表示出ON与P₂N，即表示出P₂的坐标，将P₂的坐标代入反比例解析式中得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出此时P₂的坐标．

解答：解：∵关于x的方程x²+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，设方程的两根分别为m与n，
∴b²-4ac=9-4a≥0，即a≤

9

4

，m+n=-3，mn=a，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

-3

a

=3，即a=-1，
当k-1=0，即k=1时，方程的解为x=

2a

3

=-

2

3

；
当k-1≠0，即k≠1时，关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有实根，
则b²-4ac=9-4（k-1）•（-2a）=9-8（k-1）≥0，即k≤

17

8

，
由k为正整数，得到k=2，
∴反比例解析式为y=

2

x

或y=

3

x

，
过点P₁作P₁M⊥y轴，过P₂，作P₂N⊥x轴，如图所示：

∵ABP₁P₂是正方形，
∴AB=AP₂=BP₁，∠BAP₂=∠ABP₁=90°，
∴∠BAO+∠P₂AN=90°，又∠AP₂N+∠P₂AN=90°，
∴∠BAO=∠AP₂N，
在△ABO和△P₂AN中，
∵

∠BAO=∠AP2N ∠BOA=∠ANP2=90° AB=P2A

，
∴△ABO≌△P₂AN（AAS），
同理△ABO≌△P₁BM≌△P₂AN，
当反比例解析式y=

2

x

时，设P₁坐标为（a，

2

a

）（a＞0），
∴MP₁=OB=AN=a，MB=OA=NP₂=

2

a

-a，
∴ON=OA+AN=

2

a

-a+a=

2

a

，又NP₂=

2

a

-a，
∴P₂的坐标为（

2

a

，

2

a

-a），
代入反比例解析式y=

2

x

得：

2

a

（

2

a

-a）=2，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴P₂的坐标为（2，1）；
当反比例解析式y=

3

x

时，设P₁坐标为（a，

3

a

）（a＞0），
∴MP₁=OB=AN=a，MB=OA=NP₂=

3

a

-a，
∴ON=OA+AN=

3

a

-a+a=

3

a

，又NP₂=

3

a

-a，
∴P₂的坐标为（

3

a

，

3

a

-a），
代入反比例解析式y=

3

x

得：

3

a

（

3

a

-a）=3，
解得：a=

6

2

或a=-

6

2

（舍去），
∴P₂的坐标为（

6

，

6

2

），
综上，P₂的坐标为（2，1）或（

6

，

6

2

）．

点评：此题考查了反比例函数的性质，坐标与图形性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根与系数的关系，以及一元二次方程解的判断方法，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道多知识点的综合性题．