Question

【题目】如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长；

（3）延长，交于点，若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由圆周角定理可得∠ADB=90°，进而可得∠DAB+∠ABD=90°，再利用等量代换得到∠DAB=∠PBD，证得∠ABP=90°即可；

（2）连接AE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，再由角平分线的定义得到∠ABE=∠DBE，最后根据三角函数的定义即可得解答；

（3）连接OE，设的半径为，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠OEB，再由等量代换得到∠DBE=∠OEB，最后根据相似三角形的性质得到解答即可．

证明（1）∵是的直径

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即

∴

又是的半径

∴是的切线

解（2）连接

∴

∵平分

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（3）连接，设的半径为

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

即

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即

∴

∴的半径为