Question

如图，BC为半⊙O的直径，点A，E是半圆周上的三等分点，AD⊥BC，垂足为D，联结BE交AD于F，过A作AG∥BE交CB的延长线于G．
（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若直径BC=2，求线段AF的长．

Answer 1

（1）答：直线AG与⊙O相切，理由为：
证明：连接OA，
∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴==，
∴点A是的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴直线AG与⊙O相切；

（2）解：∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=AB=1，
∴BD=OD=，AD==，
又∵∠EBC=30°，
在Rt△FBD中，tan∠EBC=，即tan30°==，
解得FD=，
则AF=AD-FD=-=．
分析：（1）直线AG与圆O相切，理由为：连接OA，由A、E分别为半圆周的三等分点，得到三条弧相等，得出A为弧BE的中点，利用垂径定理的逆定理得到OA垂直于BE，由AG与BE平行，得到AG垂直于OA，即可得出AG与圆O相切；
（2）由直径BC的长，求出半径的长，根据三条弧相等得到三个圆心角为60度，再由OA=OB，得到三角形AOB为等边三角形，根据三线合一求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形BDF中，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠EBC为30度，利用锐角三角函数定义求出DF的长，由AD-DF即可求出AF的长．
点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．