Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE与⊙O相切，交CB的延长线于E．
（1）判断直线AC和DE是否平行，并说明理由；
（2）若∠A=30°，BE=1cm，分别求线段DE和

BD

的长（直接写出最后结果）．

Answer 1

分析：（1）平行．连接OD，∵DE与⊙O相切，得出OD⊥DE．根据BD是∠ABE的平分线，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，即可推出答案；
（2）由∠A=30°，根据三角形的外角性质求出∠DBE，即可求出DE，根据弧长公式即可求出弧BD的长．

解答：（1）答：直线AC和DE平行．
理由是：
连接OD，∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD是∠ABE的平分线，
即∠ABD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥BE．
∴BE⊥DE，即DE⊥CE，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴AC⊥CE，
∴AC∥DE．

（2）答：线段DE的长是

3

，

BD

的长是

2π

3

．

点评：本题主要考查对切线的性质，三角形的外角性质，三角形的角平分线，平行线的判定，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．