Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．过射线AD上一点M作BM的垂线，交直线AC于点N．

（1）如图1，点M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，则线段AM的长为　 　；

（2）如图2，点M在AD上，求证：BM＝NM；

（3）若点M在AD的延长线上，则AB，AM，AN之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）见解析；（3）AM．

【解析】

（1）证得∠ABM=15°，则∠MBD=30°，求出DM=1，则AM可求出；
（2）过点M作AD的垂线交AB于点E，根据ASA可证明△BEM≌△NAM，得出BM=NM；
（3）过点M作AD的垂线交AB于点E，同（2）可得△AEM为等腰直角三角形，证明△BEM≌△NAM，BE=AN，则问题可解；

解：（1）∵∠N＝15°，∠BMN＝∠BAN＝90°，

∴∠ABM＝15°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，BD＝CD，

∴∠MBD＝∠ABD﹣∠ABM＝45°﹣15°＝30°．

∴DM＝．

∴﹣1．

故答案为：﹣1；

（2）过点M作AD的垂线交AB于点E，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠NAB＝90°，∠BAD＝45°，

∴∠AEM＝90°﹣45°＝45°∠BAD，

∴EM＝AM，∠BEM＝135°，

∵∠NAB＝90°，∠BAD＝45°，

∴∠NAD＝135°，

∴∠BEM＝∠NAD，

∵EM⊥AD，

∴∠AMN+∠EMN＝90°，

∵MN⊥BM，

∴∠BME+∠EMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BEM和△NAM中，

，

∴△BEM≌△NAM（ASA），

∴BM＝NM；

（3）数量关系是：AB+AN＝AM．

证明：过点M作AD的垂线交AB于点E，

同（2）可得△AEM为等腰直角三角形，

∴∠E＝45°，AM＝EM，

∵∠AME＝∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BEM和△NAM中，

，

∴△BEM≌△NAM（AAS），

∴BE＝AN，

∴AM．