练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，直线AC的解析式为y=kx-3，且tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
    （1）如图1，求抛物线的解析式；
    （2）如图2，点P是x轴负半轴上一动点，连接PC、BC和BD，当∠OPC=2∠CBD时，求点P的坐标；
    （3）如图3在（2）的条件下，延长AC和BD相交于点E，点Q是抛物线上的一动点（点Q在第四象限且在对称轴右侧），连接PQ交AC于点F，交y轴于点G，交BE于点H，当∠PFA=45°时，求点Q的坐标，并直接写出BG和OQ之间的数量关系和位置关系．

    分析 （1）由条件求得点A和点C的坐标，再把它们代入抛物线的方程求出b、c的值，可得抛物线的解析式．
    （2）如图2中，作PN平分∠OPC交OC于点N，NM⊥PC于M，由△PON∽△BCD，得$\frac{OP}{BC}$=$\frac{ON}{DC}$，即$\frac{ON}{OP}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，设ON=a，则OP=3a，在RtMNC中利用勾股定理即可求出a解决问题．
    （3）作PH⊥AC的延长线与点H，作AM⊥PQ于点M，根据直角三角形的性质求出∠HPA=∠OCA．设HA=a，则PH=3a，由等腰直角三角形的性质用a表示出HF，AF及PF的长，根据锐角三角函数的定义得出cos∠AFP的值，作QS⊥x轴于点S，设Q（t，t2-2t-3），则QS=-t2+2t+3=-（t+1）（t-3），PS=4+t，再由tan∠SPQ=$\frac{QS}{PS}$=$\frac{1}{2}$，求出t的值，由此可得出结论．

    解答 解：（1）如图1，∵直线AC的解析式为y=kx-3，
    令x=0，得y=-3，
    ∴C（0，-3）．
    又∵tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
    ∴A（-1，0）．
    ∴$\left\{\begin{array}{l}c=-3\\（-1）^{2}+b×（-1）+c=0\end{array}\right.$，
    解得b=-2，c=-3，
    ∴抛物线y=x2-2x-3．

    （2）如图2中，作PN平分∠OPC交OC于点N，NM⊥PC于M，
    ∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
    ∴OB=OC，BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
    ∴DC2+BC2=BD2，
    ∴∠DCB=90°，
    ∵∠OPC=2∠CBD，
    ∴∠OPN=∠CBD，∠PON=∠BCD=90°，
    ∴△PON∽△BCD，
    ∴$\frac{OP}{BC}$=$\frac{ON}{DC}$，即$\frac{ON}{OP}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，设ON=a，则OP=3a，
    ∵∠NPO=∠NPM，NO⊥PO，NM⊥PM，
    ∴ON=MN=a，NC=3-a，
    ∵∠MCN=∠PCO，∠NMC=∠POC=90°，
    ∴△CMN∽△COP，
    ∴$\frac{CM}{OC}$=$\frac{MN}{OP}$，
    ∴CM=1，
    在Rt△CMN中，∵CM2+MN2=CN2，
    ∴1+a2=（3-a）2，
    ∴a=$\frac{4}{3}$，
    ∴OP=3a=4，
    ∴点P的坐标为P（-4，0）．

    （3）如图3，作PH⊥AC的延长线与点H，作AM⊥PQ于点M，则∠PHF=90°．
    ∵∠AOC=90°，
    ∴∠PHF=∠AOC=90°．
    ∵∠PAH=∠CAO，
    ∵180°-∠PHF-∠PAH=180°-∠AOC-∠CAO，
    ∴∠HPA=∠OCA．
    ∵tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
    ∴tan∠HPA=$\frac{HA}{PH}$=$\frac{1}{3}$．
    设HA=a，则PH=3a，
    ∵∠HFA=45°，
    ∴∠HPF=90°-∠PFH=45°，
    ∴∠PFA=∠HPF，
    ∴PH=HF，
    ∴HF=3a，
    ∴AF=HF-HA=3a-a=2a，
    ∴PF=3$\sqrt{2}$a．
    ∴cos∠AFP=$\frac{MF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴MF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\sqrt{2}$a，
    ∴AM=$\sqrt{2}$a．
    ∴tan∠BPQ=$\frac{MA}{PA}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{1}{2}$．
    作QS⊥x轴于点S，设Q（t，t2-2t-3），则QS=-t2+2t+3=-（t+1）（t-3），PS=4+t，
    在Rt△PSQ中，∵tan∠SPQ=$\frac{QS}{PS}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴4+t=-2（t+1）（t-3），解得t1=2，t2=-$\frac{1}{2}$（舍去），
    ∴Q（2，-3）．
    此时BG=OQ，BG⊥OQ．

    点评 本题考查了二次函数综合题，相似三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，学会利用参数，构建方程的思想解决问题，体现了转化、数形结合的数学思想，难度较大，属于中考压轴题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．计算：（10+2$\sqrt{6}$）（5$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
    （1）己知二次函数的图象经过点（1，7）、（2，8）、（3，11）；
    （2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（0，$\frac{3}{2}$）；
    （3）已知抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙、用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米，AB边的长为y米．
    （1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
    （2）长方形的宽为5米时，求长方形的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．多项式x2n-x3n分解因式为x2n（1-xn）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    6．在“线段、角、三角形、圆、等腰梯形”这五个图形中，是轴对称图形的有4个．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．|1-$\sqrt{3}$|-$\sqrt{27}$×（-3）-1+$\frac{1}{tan30°}$+$\root{3}{-27}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．已知E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的形状是（　　）
    A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．计算：
    （1）（-0.46）×（-3.12）-0.54×（-3.12）；
    （2）（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）×24；
    （3）（-4）×（-5）×0.25；
    （4）100×（-3）×（-5）×0.01；
    （5）（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{18}$）×36．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案