Question

如图，正方形CEFG的对角线CF在正方形ABCD的边BC的延长线上（CE＞BC），点M在CF上，且MF=AB，线段AF与DM交于点N．
（1）求证：DN=MN
（2）探究线段NG、MD的数量和位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知条件CEFG的对角线CF在正方形ABCD的边BC的延长线上，可以知道AD∥BF，进而得到角相等证明△ADN≌△FMN，就可以得出结论．
（2）连接GD、GM，证明三角形全等可以得到△GDM是等腰直角三角形，且DN=MN，可以得出NG、MD的位置关系和数量关系．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，AD∥BF，
∴∠3=∠4，∠AND=∠FNM，
∵MF=AB，
∴AD=CD=MF，
∴△ADN≌△FMN，
∴DN=MN．

（2）GN⊥DM，DM=2GN．
证明：连接GD、GM，
∵四边形CEFG是正方形，
∴GC=GF，∠CGF=90°，∠GFM=∠GCF=45°，
∴∠DCG=45°，
∴∠DCG=∠GFM，
∵CD=MF，
∴△GDC≌△GMF
∴GD=GM，∠1=∠2，
∵∠2+∠CGM=90°，
∴∠1+∠CGM=90°
∴∠DGM=90°，
∵DN=MN．
∴GN⊥DM，DM=2GN．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．