Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=8，△GEF中，∠EGF=90°，GE=GF=2，把△GEF按图1位置摆放（点G与点A重合，其中E、G、A、B在同一直线上）．∠BAC的角平分线AN交BC于点M，△GEF按图1的起始位置沿射线AN方向以每秒$\sqrt{5}$个单位长度匀速移动（始终保持GF∥BC，GE∥DC），设移动的时间为t秒．当点E移到BC上时，△GEF停止移动（如图3）

（1）求BM=3；在移动的过程中，t=$\frac{6}{5}$时，点F在AC上；
（2）在移动的过程中，设△GEF和△ACM重叠的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）如图3，将△GEF绕着点E旋转，在旋转过程中，设直线GF交直线AC于点P，直线GF交直线BC于点Q，当△CPQ为等腰三角形时，求PC的长度．

Answer 1

分析 （1）三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，所以$\frac{BM}{CM}$=$\frac{AB}{AC}$，先由勾股定理求出AC的值后，然后将相关线段的长代入比例式中即可求出BM的值；由FG∥BC得△AFG∽△AMC，列比例式代入即可求出时间t的值；
（2）先根据题意求出路程AG=$\sqrt{5}$t，及△GEF的面积，分四种情况进行讨论：①当0≤t≤$\frac{6}{5}$时，此时，△GEF和△ACM重叠的部分为△PGH，利用比例式求出PG和GH，利用面积公式求出结论；②当$\frac{6}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$时，此时，△GEF和△ACM重叠的部分为四边形，利用△GEF的面积减去小三角形面积来求；③当$\frac{8}{5}$＜t≤3时，如图4，S=S_△EGF=2；④当3＜t≤4时，如图5，△GEF和△ACM重叠的部分为△EPH，同理可得；
（3）分三种情况进行讨论：①当CP=CQ时，设CP=x，过P作PH⊥BC于H，利用相似求QG的长，再利用勾股定理求列方程求出x的值；②当CP=PQ时，同理可得出CP的长；③当CQ=PQ时，作辅助线构建相似三角形，利用比例式求QG的长，同理列方程求CP；最后写出结论．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∴AC²=AB²+BC²，
∴AC=10，
∵∠BAC的角平分线AN交BC于点M，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CM}$，
∴$\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{5}$，
∵BC=8，
∴BM=3，CM=5
∴由勾股定理可得：AM=3$\sqrt{5}$，
当F在AC上时，如图1，
此时FG∥BC，
∴△AFG∽△AMC
∴$\frac{GF}{CM}=\frac{AG}{AM}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，
∴t=$\frac{6}{5}$；
故答案为：3，$\frac{6}{5}$；
（2）由题意知：AG=$\sqrt{5}$t，
△GEF的面积为：$\frac{1}{2}$GE•GF=2
当E在AC上时，此时t=$\frac{8}{5}$，
①当0≤t≤$\frac{6}{5}$时，如图2，此时，△GEF和△ACM重叠的部分为△PGH，
过M作MQ∥AB，交AC于Q，
∴$\frac{QM}{AB}=\frac{CM}{BC}$，
∴$\frac{QM}{6}=\frac{5}{8}$，则QM=$\frac{15}{4}$，
∵GH∥MQ，
∴$\frac{GH}{MQ}=\frac{AG}{AM}$，
∴$\frac{GH}{\frac{15}{4}}=\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，
∴GH=$\frac{5t}{4}$，
同理得：$\frac{PG}{5}=\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，PG=$\frac{5t}{3}$，
∴S=S_△PGH=$\frac{1}{2}$×HG×PG=$\frac{1}{2}$×$\frac{5t}{4}$×$\frac{5t}{3}$=$\frac{25}{24}$t²；
②当$\frac{6}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$时，如图3，
此时，△GEF和△ACM重叠的部分为四边形，
设EF与AC交于点P，过P作PQ⊥EG于Q，EG与AC交于H，
GH=$\frac{5t}{4}$，EH=2-$\frac{5t}{4}$，
∵EG∥AB，
∴tan∠CAB=tan∠PHG=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
设PQ=4x，HQ=3x，则EH=4x-3x=x，
∴PQ=4（2-$\frac{5t}{4}$），
∴S=S四_边形PHGF=S△_EGF-S_△PEH=2-$\frac{1}{2}$×EH×PQ=2-$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{5t}{4}$）•4（2-$\frac{5t}{4}$），
则S=-$\frac{25}{8}$t²+10t-6；
③当$\frac{8}{5}$＜t≤3时，如图4，S=S_△EGF=2；
④当3＜t≤4时，如图5，△GEF和△ACM重叠的部分为△EPH，
∵EG∥AB，
∴△PMG∽△BMA，
∴$\frac{PG}{AB}=\frac{MG}{AM}$，
∴$\frac{PG}{6}=\frac{\sqrt{5}t-3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，
∴PG=2t-6，
∴S=S_△PEF=$\frac{1}{2}$×PE×PH=$\frac{1}{2}$（2t-6）²=2t²-16t+32；
（3）分三种情况：①当CP=CQ时，如图6，
设CP=x，则CQ=x，EQ=4-x，
过P作PH⊥BC于H，
则PH=$\frac{3x}{5}$，CH=$\frac{4x}{5}$，HQ=x-$\frac{4x}{5}$=$\frac{x}{5}$，
∵△PHQ∽△EGQ，
∴$\frac{PH}{EG}=\frac{HQ}{QG}$，
∴$\frac{\frac{3x}{5}}{2}=\frac{\frac{x}{5}}{QG}$，
∴QG=$\frac{2}{3}$，
由勾股定理得：EG²=QG²+EG²，
（4-x）²=$（\frac{2}{3}）^{2}$+2²，
（4-x）²=$\frac{40}{9}$，
x=4±$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴CP=4±$\frac{2\sqrt{10}}{3}$；
②当CP=PQ时，如图7，过P作PH⊥BC于H，
设CH=x，则HQ=x，EQ=4-2x，PH=$\frac{3x}{4}$，PC=$\frac{5x}{4}$，
∵△FHQ∽△EGQ，
∴$\frac{PH}{EG}=\frac{HQ}{QG}$，
∴$\frac{\frac{3x}{4}}{2}=\frac{x}{QG}$，
∴QG=$\frac{8}{3}$，
∴（4-2x）²=$（\frac{8}{3}）^{2}$+2²，
（4-2x）²=$\frac{100}{9}$，
x₁=$\frac{11}{3}$，x₂=$\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{55}{12}$或$\frac{5}{12}$；
③当CQ=PQ时，如图8，过P作过P作PH⊥BC于H，过Q作QT⊥AC于T，
设CP=x，则CQ=$\frac{5}{8}$x，PH=$\frac{3x}{5}$，QE=4-$\frac{5}{8}$x，
∵△PHQ∽△EGQ，
∴$\frac{PH}{EG}=\frac{HQ}{GQ}$，
∴$\frac{\frac{3x}{5}}{2}=\frac{\frac{4x}{5}-\frac{5x}{8}}{GQ}$，
∴GQ=$\frac{7}{12}$，
∴2²+$（\frac{7}{12}）^{2}$=（4-$\frac{5x}{8}$）²，
（4-$\frac{5x}{8}$）²=$\frac{625}{144}$，
x1=$\frac{146}{15}$，x2=$\frac{46}{15}$，
∴CP=$\frac{146}{15}$或$\frac{46}{15}$；
综上所述：PC=4±$\frac{2\sqrt{10}}{4}$或$\frac{5}{12}$或$\frac{55}{12}$或$\frac{46}{15}$或$\frac{146}{15}$．

点评 本题是四边形和二次函数的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，考查了勾股定理及等腰三角形的性质，综合性较强；尤其是第（2）、（3）需要分多种情况进行讨论，容易出错，图形也比较多，本题的关键是能正确画出各种情况的图形．