Question

20．已知四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，过点A作∠BAC的平分线分别交BD、BC于E、F．
（1）如图1，求证：CF=2EO；
（2）如图2，连接CE，在不添加其它线的条件下，直接写出图中的等腰三角形（等腰直角三角形除外）．

Answer 1

分析 （1）取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG=$\frac{1}{2}$FC，OG∥FC，根据正方形的性质求出∠OAB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA和∠OGF的度数，推出OG=OE即可；
（2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，∠BEF=∠BFE，进而可得△DAE；△DCE；△BEF是等腰三角形，由垂直平分线的性质可得AE=CD进而可得△AEC是等腰三角形．

解答 证明：取AF的中点G，连接OG，
∵O、G分别是AC、AF的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$FC，OG∥FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∵正方形ABCD，
∴∠OAB=∠ABO=∠OCB=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠OAF=22.5°，
∴∠GEO=90°-22.5°=67.5°，
∵GO∥FC，
∴∠AOG=∠OCB=45°，
∴∠OGE=67.5°，
∴∠GEO=∠OGE，
∴GO=OE，
∴OE=$\frac{1}{2}$FC，
即CF=2EO；
（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AO=CO，∠BAC=∠DAC=45°，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∵过点A作∠BAC的平分线分别交BD、BC于E、F，
∴∠BAF=∠CAF=22.5°，
∴∠DAE=67.5°，
∴∠AED=67.5°，
∴AD=ED，
∴△ADE是等腰三角形，
∵AE=CE，
∴∠ECA=∠EAC=22.5°，
∴∠ECD=67.5°，
∴∠DEC=∠DCE=67.5°，
∴DE=CE，
∴△DEC是等腰三角形，
∵∠BEF=∠BFE=67.5°，
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形．

点评 本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．