Question

如图1，已知有一张三角形纸片ABC的一边AB=10，若D为AB边上的点，过点D作DE//BC交AC于点E，分别过点D、E作DF⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为点F、点G，把三角形纸片ABC分别沿DE、DF、EG按图1方式折叠，点A、B、C分别落在A´、B´、C´处．若A´、B´、C´在矩形DFGE内或者其边上，且互不重合，此时我们称△A´B´C´（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

（1）实验操作：当AD=4时，①若∠A=90°，AB=AC，请在图2中画出“重叠三角形”，= ； 
②若AB=AC，BC=12，如图3，= ；③若∠B=30°，∠C=45°，如图4，= ；                     
（2）实验探究：若△ABC为等边三角形（如图5），设AD的长为m，若重叠三角形A´B´C´存在，试用含m的代数式表示重叠三角形A´B´C´的面积，并写出m的取值范围．

Answer 1

（1）①；②；③；（2）

试题分析：（1）仔细分析题意，根据“重叠三角形”的定义结合三角形的面积公式求解即可；
（2）由AD=m可得A´D=AD=m，B´D=BD=10-m，则可得A´B´=10-2m，先证得△A´B´C´为等边三角形，根据三角形的面积公式可表示出△A´B´C´的面积，由B´C´结合B´C´即可得到关于m的不等式组，从而求得结果.
（1）由题意得①；②；③ 
（2）

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．