Question

9．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B、C、D在一条直线上，点M是AE的中点，
求证：（1）BM⊥DM且BM=DM；
（2）S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．

Answer 1

分析 （1）通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）解答即可．

解答 解：（1）过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM，
又∵MN=$\frac{1}{2}$（AB+ED）=$\frac{1}{2}$BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，S_△CDE=$\frac{1}{2}$b²，S_梯形ABDE=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（a²+b²）≥ab（a=b时取等号），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．

点评 本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理，特别是不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）是解决问题的关键．