Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求$\frac{EF}{FD}$的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3x}{2}$，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：$\frac{EF}{FA}=\frac{BF}{DF}$，则$\frac{1}{r-1}$=$\frac{1+r}{r}$，求出r的值即可．

解答 证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；

（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE=x，EC=4x，则AC=3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3x}{2}$，
∵OD∥AC，
∴∠E=∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AE}{OD}$，
∴$\frac{AE}{OD}$=$\frac{x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{2}{3}$；

（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-（1+r）=r-1，
在△BFD和△EFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠EFA}\\{∠B=∠E}\end{array}\right.$，
∴△BFD∽△EFA，
∴$\frac{EF}{FA}=\frac{BF}{DF}$，
∴$\frac{1}{r-1}$=$\frac{1+r}{r}$，
解得：r₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，r₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
综上所述，⊙O的半径为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．