Question

13．如图，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）证明△ABC∽△DCA，并写出对应边的比例式；
（2）若AB=10，BC=12，CA=6．求AD、DC的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，由于∠B=∠DCA，推出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}$；
（2）由（1）证得$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}$；把AB=10，BC=12，CA=6，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠B=∠DCA，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}$；

（2）由（1）证得$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}$；
∵AB=10，BC=12，CA=6，
∴$\frac{10}{CD}=\frac{6}{AD}=\frac{12}{6}$，
∴CD=5，AD=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．