Question

7．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，试判断MN，NC，BM之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，CF=6，BM=3$\sqrt{2}$，求AG，MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）由旋转的性质证出三角形全等得出对应边相等，再运用勾股定理即可得出结论．
（3）设出线段的长，根据勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵AG是△AEF的高，且高AG与正方形的边长相等，
∴∠AGE=∠AGF=90°，AG=AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）MN²=ND²+BM²．理由如下：
将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，如图1所示：
则△ADH≌△ABM，
∴AH=AM，DH=BM，∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
在△AMN和△AHN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}&{\;}\\{∠MAN=∠HAN}&{\;}\\{AN=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=HN．
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH²=ND²+DH²．
∴MN²=ND²+BM²
（3）连接BD，如图2所示：
由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=6．
设AG=x，则BC=CD=x，CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解得：x₁=12，x₂=-2（舍去负根）．
即AG=12．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=12$\sqrt{2}$，
在（2）中，MN²=ND²+DH²，BM=DH，
∴MN²=ND²+BM²．
设MN=a，则a²=（12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-a）²+（3$\sqrt{2}$）²，
解得：a=5$\sqrt{2}$，
即MN的长为5$\sqrt{2}$．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）和（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结论．