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对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线.
现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)应该是全等抛物线,由于这两个抛物线虽然开口方向不同,但是开口大小一样,因此二次项的绝对值也应该相等.可用待定系数法求出两抛物线的解析式,然后进行判断即可.
(2)与(1)相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM全等的三角形,那么过与△ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都是与CABM全等的抛物线.
解答:解:(1)设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线CABM过点A(-1,0),B(1,0),M(0,1),


∴抛物线CABM的解析式为y=-x2+1,
同理可得抛物线CABN的解析式为y=x2+1,
∵|-1|=|1|,
∴CABM与CABN是全等抛物线.

(2)①设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线CABM过点A(-1,0),B(1,0),M(0,n),

抛物线CABM的解析式为y=-nx2+n,
与CABM全等的抛物线有:
y=nx2-n,y=n(x-1)2,y=n(x+1)2
②当n≠0且m≠±1时,存在抛物线CABM,与CABM全等的抛物线有:CABN,CAME,CBMF
点评:本题是函数与几何结合的综合题,解题关键是善于利用几何图形的性质以及函数的性质和定理等知识,主要考查学生数形结合的数学思想方法.
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(1)如果已知M(0,1),△ABM≌△ABN.请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)①若已知M(0,n),在图中的平面直角坐标系中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.求抛物线CABM的解析式,然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM?根据以上的探究结果,在图中的平面直角坐标系中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线C□□□”.

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现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源:2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》(10)(解析版) 题型:解答题

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①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:2009年福建省福州市延安中学中考数学模拟试卷(解析版) 题型:解答题

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