Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG.以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是( )

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用正方形的性质和折叠的性质可得∠AED＝∠FED，AD＝FD，AE＝EF，∠A＝∠DFE，即可判定①；证明Rt△DFG≌Rt△DCG，即可判定②；证明△FHB∽△EAD，即可判定③；设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x，再利用勾股定理即可判定④；设FH＝a，则HG＝4﹣2a，再利用勾股定理即可判定⑤

∵正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点

∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°

∵△ADE沿DE翻折得到△FDE

∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90°

∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90°

∴∠EBF＝∠EFB

∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB

∴∠DEF＝∠EFB

∴BF∥ED

故结论①正确；

∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG

∴Rt△DFG≌Rt△DCG

∴结论②正确；

∵FH⊥BC，∠ABC＝90°

∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90°

∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED

∴△FHB∽△EAD

∴结论③正确；

∵Rt△DFG≌Rt△DCG

∴FG＝CG

设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x

在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+(6﹣x)2＝(3+x)2

解得：x＝2

∴BG＝4

∴tan∠GEB＝

故结论④正确；

∵△FHB∽△EAD，且

∴BH＝2FH

设FH＝a，则HG＝4﹣2a

在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+(4﹣2a)2＝22

解得：a＝2(舍去)或a＝

∴S△BFG＝×4×＝2.4

故结论⑤错误；

故选：C.