Question

如图，四边形ABCD是矩形纸片．
（1）把矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使AB边落在矩形ABCD内部，点B落在CD边的点E处，折痕为AF，在图中用尺规作出折叠后的图形；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）若点E为DC的中点，且CD=6，求折痕AF的长．

Answer 1

分析：（1）折叠实际上是作轴对称图形，故根据对称性先求得B在DC上的位置，在作∠BAE的平分线，交BC于F，连接AF、EF；即得△AEF；（2）根据折叠的性质，可得AE=AB=CD=6，E是CD的中点，进而可得∠BAF=∠EAF=30°；在Rt△ABF中，AF=2BF，由勾股定理，得AF²=AB²+BF²；代入数值，解可得AF=4

3

．

解答：解：（1）第一步以A为圆心，以AB长为半径画弧，交DC边于点E，连接AE．
第二步作∠BAE的平分线，交BC于F，连接AF、EF，
则△AEF就是求作的图形；（5分）

（2）由矩形的性质和作图可知AE=AB=CD=6，E是CD的中点，
∴CE=ED=3，∴sin∠DAE=

1

2

，∴∠DAE=30°，∴∠BAF=∠EAF=30°，
在Rt△ABF中，AF=2BF，由勾股定理，得AF²=AB²+BF²，
∴（2BF）²=BF²+36，解得BF=±2

3

，
因为BF是线段长，
∴BF=2

3

，
∴AF=4

3

．（10分）

点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．