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已知：反比例函数 $数学公式$ 的图象在第一象限的分支上有n个点A₁（1，y₁），A₂（2，y₂），…，A_n（n，y_n），设直线A₁A₂的解析式为y=k₁x+b₁，A₂A₃的解析式为y=k₂x+b₂，…，A_nA_n+1的解析式为y=k_nx+b_n．
（1）当m=1时，k₁=；
（2）当m=1时，k₁+k₂+k₃=；
（3）①当m=2时，求k₁+k₂+k₃+…+k₂₀的值，并写出求解过程．
　　 ②用m、n表示k₁+k₂+k₃+…+k_n的值（直接写出结果）．

解：（1）当m=1时，反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，
∴点A₁的坐标为（1，1），点A₂的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），
把点A₁（1，1），点A₂（2， $\text{[math]}$ ）代入y=k₁x+b₁得
k₁+b₁=1①，
2k₁x+b₁= $\text{[math]}$ ②
∴②-①得k₁= $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ；
故答案为- $\text{[math]}$ ；

（2）当m=1时，反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，
点A₁的坐标为（1，1），点A₂的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点A₃的坐标为（3， $\text{[math]}$ ），点A₄的坐标为（4， $\text{[math]}$ ），
与（1）一样，k₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴k₁+k₂+k₃= $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-1+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
故答案为- $\text{[math]}$ ；

（3）①当m=2时，反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，
∴点A₁坐标为（1，2），点A₂坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点A₃的坐标为（3， $\text{[math]}$ ），点A₄的坐标为（4， $\text{[math]}$ ），…，点A₂₀坐标为（20， $\text{[math]}$ ），点A₂₁坐标为（21， $\text{[math]}$ ），
与（1）一样，k₁= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，…，k₂₀= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴k₁+k₂+k₃+…+k₂₀= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-2+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
②点A₁坐标为（1，m），点A₂坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点A₃的坐标为（3， $\text{[math]}$ ），点A₄的坐标为（4， $\text{[math]}$ ），…，点A_n坐标为（n， $\text{[math]}$ ），点A_n+1坐标为（n+1， $\text{[math]}$ ）．
与（1）一样，k₁= $\text{[math]}$ -m，k₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，…，k_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴k₁+k₂+k₃+…+k_n= $\text{[math]}$ -m+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-m+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由反比例函数的解析式y= $\text{[math]}$ 可确定点A₁的坐标为（1，1），点A₂的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），再把它们代入y=k₁x+b₁得到k₁+b₁=1①，2k₁x+b₁= $\text{[math]}$ ②，然后用②-①可求得k₁= $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ；
（2）当m=1时，反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，可确定点A₁的坐标为（1，1），点A₂的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点A₃的坐标为（3， $\text{[math]}$ ），点A₄的坐标为（4， $\text{[math]}$ ），与（1）一样得到k₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，易得到k₁+k₂+k₃的值；
（3）①当m=2时，反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，先确定点A₁坐标为（1，2），点A₂坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点A₃的坐标为（3， $\text{[math]}$ ），点A₄的坐标为（4， $\text{[math]}$ ），…，点A₂₀坐标为（20， $\text{[math]}$ ），点A₂₁坐标为（21， $\text{[math]}$ ），仿照（1）得到k₁= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，…，k₂₀= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，则k₁+k₂+k₃+…+k₂₀= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，然后进行加减运算即可；
②先得到点A₁坐标为（1，m），点A₂坐标为（2， $\text{[math]}$ ），点A₃的坐标为（3， $\text{[math]}$ ），点A₄的坐标为（4， $\text{[math]}$ ），…，点A_n坐标为（n， $\text{[math]}$ ），点A_n+1坐标为（n+1， $\text{[math]}$ ），再同样可得到k₁= $\text{[math]}$ -m，k₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，k₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，…，k_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，则k₁+k₂+k₃+…+k_n= $\text{[math]}$ -m+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，然后进行分式的加减运算即可．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足其解析式；运用待定系数法求函数的解析式；熟练掌握分数与分式的运算．

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