Question

如图，四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，连接AE，M是AE的中点，连接MD、MF．探究线段MD、MF的关系，并加以说明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，你可以从下列（1）、（2）中选取一个补充已知条件，完成你的证明．
注意：选取（1）完成证明得10分；选取（2）完成证明得7分．
①如图2，正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上；
②如图3，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，且CF=2AD．

Answer 1

分析：①MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN，同（1）方法证明△ADM≌△ENM，得DM=MN，利用“SAS”证明，△FDC≌△FNE，得FD=FN，∠5=∠6，可证∠DFN=90°，△DFN为等腰直角三角形，FM为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
②如图3，延长DM交FE于N，根据AM=ME，AD∥EF证明△AMD≌△EMN，得出NE=AD=DC，DM=MN，又FE=FC，可得FD=FN，则△DFN为等腰直角三角形，FM为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF．

解答：①证明：MD=MF，MD⊥MF．
如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2．
又∵AM=EM，∠3=∠4，
在△ADM和△ENM中

∠1=∠2 AM=ME ∠3=∠4

，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵正方形CGEF，正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，
在△FDC和△FNE中

DC=NE ∠DCF=∠NEF CF=EF

，
∴△FDC≌△FNE（SAS），
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，
∴MD=MF，MD⊥MF；

②解：如图3，延长DM交FE于N，
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠MAD=∠MEN，
又∵MA=ME，∠NME=∠DMA，
在△AMD和△EMN中

∠NME=∠DMA ME=AM ∠NEM=∠MAD

，
∴△AMD≌△EMN（ASA），
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据证明问题的一般方法，在图形变化过程中，寻找不变的关系．