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【题目】已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.

(1)求这条抛物线的关系式.

(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.

【答案】1y=.2)证明见解析.

【解析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点和待定系数法求二次函数解析式

1)先设出函数的解析式:y=ax2+bx+c,根据抛物线经过A03),B46)两点,用待定系数法求出函数的解析式;

2)令y=0,得到方程,根据方程根与系数的关系求出抛物线与x轴的两个交点,再根据三角形任意两边之和大于第三边,来证明.

(1):设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,

A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.

, 解得

y=.

(2)证明:y=0,="0,"

∵A(0,3),A点关于x轴的对称点E,∴E (0,-3).

设直线BE的关系式为y=kx-3,B(4,6)代入上式,6=4k-3,

k=,y=x-3 .

x-3=0,x=.

C,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,

x轴上任取一点D,△BED,BE< BD+DE.

∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.

DC重合,AC+BC="AD+BD." ∴AC+BC≤AD+BD.

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