Question

19．如图，直线AB：y=x-4分别与x、y交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OA=2OC
（1）求直线BC的解析式；
（2）若直线y=kx（k＜0）分别与直线AB、BC相交于点M、N，是否存在这样的直线MN，使得S_△OBN=2S_△OBM？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）若点E、F分别是直线BC、y轴上的点，其以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求E、F的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据直线AB：y=x-4分别与x、y交于A、B两点，且OA=2OC，求出点A、B、C的坐标各是多少；然后应用待定系数法，求出直线BC的解析式即可．
（2）存在这样的直线MN，使得S_△OBN=2S_△OBM．首先作MD⊥y轴交y轴于点D，作NE⊥y轴交y轴于点E，分别求出NE、MD的值各是多少；然后根据S_△OBN=2S_△OBM，可得NE=2MD，据此求出k的值是多少即可．
（3）根据题意，分三种情况：①点E在第二象限，点F在y轴的正半轴上；②点E在第四象限，点F在y轴的负半轴上；③点E在第四象限，点F在y轴的正半轴上；然后根据平行四边形的性质，求出E、F的坐标各是多少即可．

解答 解：（1）∵直线AB：y=x-4分别与x、y交于A、B两点，
∴A（4，0）、B（0，-4），
∵OA=2OC，OA=4，
∴OC=2，点C的坐标是（-2，0），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式是y=-2x-4．

（2）存在这样的直线MN，使得S_△OBN=2S_△OBM．
如图1，作MD⊥y轴交y轴于点D，作NE⊥y轴交y轴于点E，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-4}\\{y=kx}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{k+2}}\\{y=-\frac{4k}{k+2}}\end{array}\right.$．
∴点N的坐标是（-$\frac{4}{k+2}$，-$\frac{4k}{k+2}$），
∴NE=|-$\frac{4}{k+2}$|=$\frac{4}{|k+2|}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=kx}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{1-k}}\\{y=\frac{4k}{1-k}}\end{array}\right.$
∴点M的坐标是（$\frac{4}{1-k}$，$\frac{4k}{1-k}$），
∴MD=$\frac{4}{1-k}$；
∵S_△OBN=2S_△OBM，
∴NE=2MD，
即$\frac{4}{|k+2|}=2×\frac{4}{1-k}$，
∴$\frac{1}{|k+2|}=\frac{2}{1-k}$，
①当k＞-2时，
可得$\frac{1}{k+2}=\frac{2}{1-k}$，
解得k=-1．
②当k＜-2时，
可得-$\frac{1}{k+2}=\frac{2}{1-k}$，
解得k=-5．
③当k=-2时，
直线y=-2x于直线BC：y=-2x-4平行，不符合题意．
综上，可得
存在这样的直线MN，使得S_△OBN=2S_△OBM，此时k=-1或-5．

（3）①如图2，AE与BF交于点G，

∵点E、F分别是直线BC、y轴上的点，
∴设点E的坐标是（a，-2a-4），点F的坐标是（0，b），
∵以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴点G是AE、BF的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+4}{2}=0}\\{\frac{-2a-4}{2}=\frac{b-4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标是（-4，4），点F的坐标是（0，8）．
②如图3，AF与BE交于点G，

∵点E、F分别是直线BC、y轴上的点，
∴设点E的坐标是（c，-2c-4），点F的坐标是（0，d），
∵以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴点G是AF、BE的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{2}=\frac{4}{2}}\\{\frac{-4-2c-4}{2}=\frac{d}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{d=-16}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标是（4，-12），点F的坐标是（0，-16）．
③如图4，AB与EF交于点G，

∵点E、F分别是直线BC、y轴上的点，
∴设点E的坐标是（e，-2e-4），点F的坐标是（0，f），
∵以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴点G是AB、EF的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{e}{2}=\frac{4}{2}}\\{\frac{f-2e-4}{2}=\frac{-4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=4}\\{f=8}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标是（4，-12），点F的坐标是（0，8）．
综上，可得
以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，
①点E的坐标是（-4，4），点F的坐标是（0，8）；
②点E的坐标是（4，-12），点F的坐标是（0，-16）；
③点E的坐标是（4，-12），点F的坐标是（0，8）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求直线解析式，以及平行四边形的性质和应用，要熟练掌握．