已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A.顶点为E.与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标,(2)如图1.P为线段BC上一点.过点P作y轴平行线.交抛物线于点D.当△BDC的面积最大时.求点P的坐标,(3)如图2.若点Q是直线BC上的动点.点Q.C.E所构成的三角形与△AOC相似.请直接写出所有点Q的坐标,(4)如图3.过E作EF⊥x轴于F点.M(m.0)是x轴上一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0），顶点为E，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是直线BC上的动点，点Q、C、E所构成的三角形与△AOC相似，请直接写出所有点Q的坐标；
（4）如图3，过E作EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，则m的最大值为5，最小值为-$\frac{5}{4}$．

分析（1）利用待定系数法，把A、B两点坐标代入抛物线的解析式，转化为解方程组即可．
（2）设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），根据S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，构建二次函数，利用二次函数的性质解决即可．
（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
顶点坐标E（1，4）．

（2）如图1中，

∵B（3，0），C（0，3）
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）=$\frac{1}{2}$PD•3，
=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△BDC的面积最大，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（3）如图2中，

∵C（0，3），E（1，4），B（3，0），
∴直线EC的解析式为y=x+3，直线BC的解析式为y=-x+3，
∵1×（-1）=-1，
∴EC⊥BC，
∴∠ECB=90°，
∴当$\frac{EC}{CO}$=$\frac{CQ}{OA}$或$\frac{EC}{OA}$=$\frac{CQ}{CO}$时，点Q、C、E所构成的三角形与△AOC相似，
即$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{CQ}{1}$或$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\frac{CQ}{3}$，
∴CQ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$或3$\sqrt{2}$，
∴Q₁（3，0），Q₂（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$），
根据对称性可知当Q₃（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{3}$），Q₄（-3，6）时也满足条件，
综上所述，Q点坐标为（3，0），（-3，6），（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$），（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

（4）如图3中，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴$\frac{MF}{NH}$=$\frac{FN}{BC}$，
设FN=n，则NH=3-n，
∴$\frac{1-m}{3-n}$=$\frac{n}{1}$，
即n²-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-$\frac{5}{4}$，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，此时m的值最大，
∴m≤5，
∴m的最大值为5，最小值为-$\frac{5}{4}$，
故答案为5，-$\frac{5}{4}$．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质、二元一次方程的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

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