Question

如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S_△ABC=7，S_△OBC=2，则

BM

BA

=

 

．

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质证明△BAN≌△CBM（SAS），然后有全等三角形的性质知S_△BAN=S_△CBM，最后利用“割补法”求得△AOM和△BOM面积间的数量关系列出方程，解方程即可．

解答：解：连接AO，设S_△AOM=m，BM：MA=a：1（a＞0）．
∵AN=BM，AB=AC，
∴AN：CN=a；
在△BAN和△CBM中：
∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC，∠BAN=∠CBM=60°，
又∵BM=AN，
∴△BAN≌△CBM（SAS），
∴S_△BAN=S_△CBM，
∴S_△BAN-S_△BOM=S_△CBM-S_△BOM，
∴S_{四边形AMON}=S_△BOC；
又∵S_△OBC=2，
∴S_{四边形AMON}=2；
∴S_△AON=S_{四边形AMON}-S_△AOM=2-m…①
而S_△ABC=7，
∴S_△BOM+S_△CON=S_△ABC-S_△BOC-S_{四边形AMON}=3；
∵△AOM和△BOM的高相等（都是点O到AB得距离），
∴S_△BOM：S_△AOM=BM：AM=a，
∴S_△BOM=am…②
∴S_△CON=3-S_△BOM=3-am，
同理，S_△AON：S_△CON=AN：CN=a，
∴（2-m）：（3-am）=a，即2-m=3a-a²m…③
同理，S_△ACM：S_△BCM=AM：BM=1：a，
∴[m+（2-m）+（3-am）]：（am+2）=1：a，即（5-am）：（am+2）=1：a，
∴am+2=5a-a²m…④
④-③得，（a+1）m=2a
∴m=

2a

a+1

；
将m值代入③式，得
2-

2a

a+1

=3a-a²•

2a

a+1

，即（a+1）（2a-1）（a-2）=0，
∴a=

1

2

1，或者a=2；
当a=

1

2

时，

BM

BA

=

1

3

；
当a=2时，

BM

BA

=

2

3

；
故答案为：

1

3

或

2

3

．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．