Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，点E与点D关于直线AB对称，连接AE、BE．

（1）求BD：DC；
（2）将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A₁BE₁．连接A₁C、AE₁，如图2所示，求线段AE₁与A₁C的数量关系及它们所夹锐角的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可证明BD=AD，再根据含30°角的直角三角形性质可证明：AD：DC=1；2，所以BD：DC=1：2；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC交于点F，则BC=2BF，由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，设A₁C分别交AE₁，AB于点M和N，证明△A₁E₁B∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证明线段AE₁与A₁C的数量关系及它们所夹锐角的度数．
解答：解：（1）如图1，连接AD，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABC=30°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=90°，
在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴AD：DC=1；2，
∴BD：DC=1：2；

（2）如图2，过点A作AF⊥BC交于点F，则BC=2BF，
由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，
∵点E与点D关于直线AB对称，
∴AE=BE，∠BEA=120°，
∵△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A₁BE₁．
∴A₁E₁=E₁B，∠A₁E₁B=120°，
∴∠2=30°，
∵∠1=30°，∠BAC=120°，
∴△A₁E₁B∽△ABC，
∴，∠E₁AB=∠A₁CB，
∵∠1=30°，cos∠1=，
∴，
∴BC=AB，
∴=，
设A₁C分别交AE₁，AB于点M和N，
∵∠ANM=∠BNC，且∠NAM=∠NCB，
∴∠AMN=∠1=30°，
∴AE₁与A₁C的夹角的度数为30°，
∴线段AE₁与A₁C的数量关系及它们所夹锐角的度数分别是A₁C=AE₁和30°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、图形旋转的性质以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．