Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AB为一边作△AEB，使△AEB≌△ADC，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．
求证：AM=AN．

Answer 1

证明：∵△AEB≌△ADC，
∴∠4=∠5，∠C=∠2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠3=∠5，∠C=∠1，
∴∠4=∠3，∠1=∠2，
∵∠EBM=∠DBN，
∴∠2+∠MBE=∠1+∠DBN，
即∠ABM=∠ABN，
在△AMB和△ANB中，
∴△AMB≌△ANB（ASA），
∴AM=AN．
分析：首先由△AEB≌△ADC可得∠4=∠5，∠C=∠2，再根据等腰三角形的性质可得∠3=∠5，∠C=∠1，再证明∠ABM=∠ABN，然后证明△AMB≌△ANB，再根据全等三角形的性质可得AM=AN．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．