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    4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（-1，0），C（$\sqrt{2}$-1，1），D（0，-3），A，B在x轴上，且P为AB中点，S△CAP=1．
    （1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．
    （2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q在此新图象G上，且S△APQ=S△APC，求点Q坐标．
    （3）若一个动点M自点N（0，-1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．

    分析 （1）先根据三角形面积公式求出AP=2，则利用P为AB中点可确定A点和B点之间，然后利用交点式求抛物线解析式；
    （2）如图1，利用翻折的性质得到图象G的解析式为y=x2+2x-3（x＜-3或x＞1），y=-x2-2x+3（-3≤x≤1），则利用三角形点Q的纵坐标为1，然后解方程x2+2x-3=1或-x2-2x+3=1可得到点Q的坐标；
    （3）如图2，先利用求出点N关于x轴对称点N′（0，1），点D关于对称轴的对称点D′（-2，-3），连接N′D′交x轴于E，交直线x=-1于点F，则利用两点之间线段最短可判断此时点M运动的总路程最短，再利用待定系数法求出直线N′D′的解析式，然后确定E点和F点的坐标．

    解答 解：（1）∵S△CAP=1，C（$\sqrt{2}$-1，1），
    ∴$\frac{1}{2}$•AP•1=1，
    ∴AP=2，
    ∵P为AB中点，P（-1，0），
    ∴A（-3，0），B（1，0）；
    设过A、B、D三点的抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1），
    把D（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=1，
    ∴过A、B、D三点的抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
    （2）如图1，抛物线y=x2+2x-3沿x轴翻折所得的新抛物线关系式为y=-x2-2x+3，
    ∴图象G的解析式为y=x2+2x-3（x＜-3或x＞1），y=-x2-2x+3（-3≤x≤1）
    ∵S△APQ=S△APC=1，
    ∴点Q到x轴的距离为1，
    ∴点Q的纵坐标为1，
    ∴x2+2x-3=1或-x2-2x+3=1，
    解得x2+2x+3=1得x1=-1+$\sqrt{5}$，x2=-1-$\sqrt{5}$；解方程-x2-2x+3=1得x1=-1+$\sqrt{3}$，x2=-1-$\sqrt{3}$；
    ∴所求Q点的坐标为：（-1+$\sqrt{5}$，1），（-1-$\sqrt{5}$，1），（-1+$\sqrt{3}$，1），（-1-$\sqrt{3}$，1）；
    （3）如图2，
    ∵N（0，-1），
    ∴点N关于x轴对称点N′（0，1），
    ∵点D（0，-3），
    ∴点D关于对称轴的对称点D′（-2，-3），
    连接N′D′交x轴于E，交直线x=-1于点F，
    ∵EN=EN′，FD=FD′，
    ∴NE+EF+FD=EN′+EF+FD′=N′D′，
    ∴此时点M运动的总路程最短，
    设直线N′D′的解析式为y=kx+b，
    把N′（0，1），D′（-2，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
    ∴直线N′D′的关系式为y=2x+1，
    ∴E（-$\frac{1}{2}$，0），
    当x=-1时，y=-1，
    ∴F（-1，-1）．

    点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．利用两点之间线段最短解决（3）问的最短路径问题．

    练习册系列答案
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    11．实数$\sqrt{4}$，$\root{3}{8}$，$\sqrt{2}$，2.020020002，π，$\frac{1}{3}$，tan30°，无理数有（　　）个．
    A．2B．3C．4D．5

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    12．（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手66次，有多少人参加聚会？
    （2）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
    （3）初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？
    （注：3个小题只需设未知数，列出方程即可）

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    9．计算：
    （1）（-2）2-$\sqrt{16}$+$\root{3}{27}$-（$\sqrt{3}$）2；
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    （1）填空：把一支蜡烛的总长度记为单位1，当蜡烛B燃烧完时，它在“有罩”条件下燃烧的长度为$\frac{x}{x+20}$
    ，在“无罩”条件燃烧长度为$\frac{20}{x+20}$（两个空都用含有x的代数式表示）
    （2）求无外罩时，一支蜡烛可以燃烧多少分钟？
    （2）如果要保证一支点燃的蜡烛至少能够燃烧40分钟，则无罩燃烧至多几分钟后就要给这支蜡烛加上外罩．

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    13．下列说法中错误的个数是（　　）
    ①一条直线的平行线只有一条
    ②过一点与已知直线平行的直线有且只有一条
    ③过直线外一点与这条已知直线平行的直线有且只有一条．
    A．0B．1C．2D．3

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    ①S△ADB=S△ADC；
    ②当0＜x＜3时，y1＜y2；
    ③如图，当x=3时，EF=$\frac{8}{3}$；
    ④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．
    其中正确结论的序号是①③④．

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