Question

如图，正比例函数y=2x与反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂足为D，过点C作CB垂直x轴，垂足为B，连接AB和CD．已知点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A的横坐标代入正比例函数解析式可得点A的纵坐标，把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；
（2）易得四边形ABCD的对角线互相平分，那么是平行四边形；
（3）若以AC为边得到的矩形，P，Q两点不在坐标轴上；以AC为对角线得到的矩形，可以AC为直径画一个圆，看圆与坐标轴的交点即可．

解答：解：（1）当x=2时，由y=2x得y=4，
∴k=8（4分）

（2）∵A、O、C在一条直线上，A，C在反比例函数和正比例函数的交点处，
∴点A和点C关于点O中心对称，
∴AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（或者解方程组y=2x和y=

8

x

，求得C点的坐标为（-2，-4）也可）（4分）

（3）∵以AC为边的四边形是矩形时，点P、Q分别在x轴和y轴上时，此时不可能；
∴只能以AC为矩形的对角线，此时P、Q分别在x轴的正、负半轴上或者在y轴的正、负半轴上．
而AO=

22+42

=2

5

，
∴以O为圆心，2

5

为半径画圆与坐标轴的交点即为所求的点．P(2

5

，0)，Q(-2

5

，0)或者P(0，2

5

)，Q(0，-2

5

)．（4分）

点评：用到的知识点为：点在函数解析式上，就适合这个函数解析式；正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；直径所对的圆周角是90°．