Question

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）求A、B两点坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过解方程能求出两根，再根据题干给出的大小关系确定A、B点的坐标．
（2）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法即可确定该函数的解析式．
（3）首先设点M的坐标，然后表示出AM的长；已知MN∥BC，利用相似三角形△AMN、△ABC求出△AMN的面积表达式；以AM为底、OC为高易得△ACM的面积，△ACM、△AMN的面积差即为△MNC的面积，再根据所得函数的性质来判断△MNC是否具有最大面积．

解答：解：（1）∵x²-4x-12=0，
∴x₁=-2，x₂=6．
即：A（-2，0），B（6，0）．

（2）∵抛物线过点A、B、C，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），将点C的坐标代入，得：
-4=a（0+2）（0-6），
解得a=

1

3

．
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

4

3

x-4．

（3）存在．
设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，AM=m+2．
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

∴S_△CMN
=S_△ACM-S_△AMN
=

1

2

•AM•CO-

1

2

•AM•NH
=

1

2

（m+2）（4-

m+2

2

）
=-

1

4

m²+m+3
=-

1

4

（m-2）²+4．
∴当m=2时，S_△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）．

点评：本题主要考查的知识点有：利用待定系数法求二次函数解析式的方法、图形面积的解法、相似三角形的性质等；在求解图形面积问题时，通常可以先找出与所求相关的规则图形，然后利用图形面积间的和差关系来找出突破口．