分析 （1）由HL证明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可，只需证明一对全等，另一对同理可证；
（2）先证明△AMN≌△AHN，进而证明△NHD是直角三角形即可；
（3）利用（2）中结论建立方程，解之即可．
解答 解：（1）如图①，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理∠GAF=∠DAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$=45°；
（2）如图②，
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由题意知△ABM≌ADH，
∴∠ADH=∠ABM=45°，AH=AM，
∴∠BDH=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAN+∠DAH=45°，
即∠NAH=45°，
在△AMN和△AHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴HN=MN，
在Rt△NDH中，NH2=DH2+ND2，
∴MN2=BM2+DN2；
（3）如图③，由（2）中结论可知：MN2=BM2+DN2，
∵DN=3$\sqrt{7}$，BM=3$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{B{M}^{2}+D{N}^{2}}$=9．
点评 本题考查了旋转变换、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，难度适中．本题是经典的“大角夹半角”模型，其基本证明方法必须熟练掌握．第（2）问当中所证明的结论可以认为是等腰直角三角形或正方形的重要性质，可直接记住，在解决一些相关的几何证明和计算时会有很大帮助．
小博士期末闯关100分系列答案
名校名师培优作业本加核心试卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC=1：5，则$\frac{BE}{EC}$的值为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{5}$ | D． | $\frac{1}{25}$ |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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| A． | （$\sqrt{a}$）2=a | B． | 若a＞b（ab≠0），则$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$ | ||
| C． | |a|•|b|=|ab| | D． | 若m为整数，则（m+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{7}{4}$是整数 |
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| 充值金额（元） | 充值后卡内金额（元） | |
| 以前 | 即日起 | |
| 200 | 200 | 250 |
| 500 | 600 | 650 |
| 1000 | 1200 | 1400 |
| 购买服装的标价（元） | 折扣 | |
| 以前 | 即日起 | |
| 1-100 | 不打折 | 不打折 |
| 100-300 | 不打折 | 9折 |
| 300-400 | 9折 | 8折 |
| 不低于400 | 8折 | 7折 |
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已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．