Question

阅读与证明：

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：BF＋DE＝EF．

分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF＋DE相等的线段．如图延长ED至点，使D＝BF，连接A，易证△ABF≌△AD，进一步证明△AEF≌△AE，即可得结论．

(1)请你将下面的证明过程补充完整．

证明：延长ED至，使D＝BF，

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠ABF＝∠AD＝90°，

∴△ABF≌△AD(SAS)

应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．

(2)设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；

(3)设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：________．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∴AF＝A，∠BAF＝∠DA 　　∵∠AE＝∠AD＋∠DAE＝∠BAF＋∠DAE 　　＝∠DAB－∠EAF＝45°， 　　又∵∠EAF＝45°， 　　∴∠AE＝∠EAF 　　∴△AEF≌△AE(3分) 　　∴EF＝E＝ED＋D＝ED＋BF(4分) 　　(2)解：设BF＝a，则CF＝30－a，EF＝15＋a 　　在Rt△CEF中 　　EC2＋CF2＝EF2 　　∴152＋(30－a)2＝(15＋a)2 　　∴a＝10(6分) 　　∴F为BC的三等分点(7分) 　　∴F(30，10)(8分) 　　(3)y＝－x＋30(10分)